02-Hasáb a lejtőn

Solve - II.

Vizsgáljuk egy lejtőre helyeztt hasáb mozgásegyenleteit a sympy csomag segítségével. Legyen a hasáb tömege $M$, jelöljük a test lejtő menti gyorsulását $a$-val, a tartóerőt $F_t$-vel. Tételezzük fel, hogy a test és a lejtő között csúszási súrlódás lép fel, melyet a $\mu$ együttható jellemez. Jelöljük a súrlódási erőt $F_s$-el. A lejtő vízszintessel bezárt szöge legyen $\alpha$. Ha $0$ kezdősebességgel elengedjük a hasábot, akkor $t$ idő múlva mekkora utat fog megtenni? Határozzuk meg $a$-t,$F_s$-et, illetve $F_t$-t is! A megoldandó egyenletrendszer tehát:

\begin{align} Mg\sin(\alpha)-F_s&=Ma \\ Mg\cos(\alpha)-F_t&=0 \\ F_s&=\mu F_t \\ s&=\frac{a}{2}t^2 \end{align}

A megoldáshoz használjuk a sympy csomag solve függvényét!

Megoldás

Először meghívjuk a sympy csomagot.

In [1]:
from sympy import *
init_printing()

Majd megadjuk a paramétereket, amiket szimbólumként kell kezelni:

In [2]:
M, g, alpha, F_s, a, F_t, mu, s, t = symbols("M, g, alpha, F_s, a, F_t, mu, s, t")

Végül a solve() függvény segítségével megoldjuk az egyenleteket $s$-re, $a$-re, $F_s$-re és $F_t$-re:

In [3]:
solve([M*g*sin(alpha) - F_s - M*a, M*g*cos(alpha) - F_t, F_s - mu*F_t, s - 0.5*a*t**2],[s, a, F_s, F_t])
Out[3]:
$$\left \{ F_{s} : M g \mu \cos{\left (\alpha \right )}, \quad F_{t} : M g \cos{\left (\alpha \right )}, \quad a : g \left(- \mu \cos{\left (\alpha \right )} + \sin{\left (\alpha \right )}\right), \quad s : 0.5 g t^{2} \left(- \mu \cos{\left (\alpha \right )} + \sin{\left (\alpha \right )}\right)\right \}$$