04-Ez meg nem szimmetrikus

Lineáris algebra - I.

Lássuk be a sympy segítségével, hogy minden 3x3-as antiszimmetrikus mátrix rendelkezik egy zérus sajátértékkel!

Megoldás

Először meghívjuk a sympy csomagot.

In [1]:
from sympy import *
init_printing()

Majd a használt paramétereket megadjuk szimbólumként.

In [2]:
a_1, a_2, a_3 = symbols('a_1, a_2, a_3')

Ezután létrehozzuk az $$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -a_3 & a_2\\ a_3 & 0 & -a_1\\ -a_2 & a_1 & 0 \end{array} \right)$$ általános alakú antiszimmetrikus mátrixot:

In [3]:
A = Matrix([[0, -a_3, a_2], [a_3, 0, -a_1], [-a_2, a_1, 0]])

Majd ennek meghatározzuk a sajátértékét:

In [4]:
A.eigenvals()
Out[4]:
$$\left \{ 0 : 1, \quad - \sqrt{- a_{1}^{2} - a_{2}^{2} - a_{3}^{2}} : 1, \quad \sqrt{- a_{1}^{2} - a_{2}^{2} - a_{3}^{2}} : 1\right \}$$

És mivel ennek van 0 sajátértéke, $a_1$, $a_2$ és $a_3$ értékétő függetlenül, mindig lesz 0 sajátértéke egy antiszimmetrikus mátrixnak.