05-Maxwell$-$Boltzmann

Analízis - I.

Vizsgáljuk a termodinamikából ismert Maxwell$-$Boltzmann-sebességeloszlást !

$$f(v)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{v^2 e^{-v^2/(2a^2)}}{a^3}$$

Határozzuk meg sympy függvények segítségével a következő mennyiségeket:

  • Az átlagos sebesség: $\displaystyle\int_0^\infty vf(v) \mathrm{d}v$
  • A tipikus sebesség: $\sqrt{\displaystyle\int_0^\infty v^2f(v) \mathrm{d}v}$
  • A legvalószínűbb $v^*$ sebesség (ahol az eloszlásnak maximuma van): $\partial_v f(v)|_{v=v^*}=0$

Figyelem: a probléma természetéből fakadóan mind a v mind pedig az a változók csak valós értékeket vehetnek fel.

Megoldás

Először meghívjuk a sympy csomagot.

In [1]:
from sympy import *
init_printing()

Ezután a paramétereket megadjuk paraméterként, valamint definiáljuk az f függvényt:

In [2]:
v, a = symbols("v, a", positive=True) # Mivel a és v fizikai okok miatt pozitívak, megadjuk, hogy könnyebben lehessen kezelni.
f = sqrt(2/pi) * (v**2 * exp(-(v**2)/(2*a**2)))/a**3
f
Out[2]:
$$\frac{\sqrt{2} v^{2}}{\sqrt{\pi} a^{3} e^{\frac{v^{2}}{2 a^{2}}}}$$

Az átlagos sebességet a függvény és a v változó integráljaként kapjuk:

In [3]:
integrate(v * f, (v, 0, oo))
Out[3]:
$$\frac{2 a}{\sqrt{\pi}} \sqrt{2}$$

A tipikus sebességet az integrál gyökeként:

In [4]:
sqrt(integrate(v**2 * f, (v, 0, oo)))
Out[4]:
$$\sqrt{3} a$$

A legvalószínűbb sebességet pedig úgy, ha a függvény deriváltját egyenlővé tesszük 0-val:

In [5]:
solve(diff(f, v), v)
Out[5]:
$$\left [ \sqrt{2} a\right ]$$