☠ 06-Taylor-sorok

Analízis - II.

Határozzuk meg az alábbi függvények Taylor-sorát a megadott rendig a megadott pont körül!

  • $f(x)=\sin(x^2)+\cos(x),\,x=\pi/3 $ körül harmadrendig
  • $g(x)=\exp(-(x-3)^2)\sin(x),\,x=0$ körül negyedrendig

Megoldás

Először betöltjük a sympy csomagot.

In [1]:
from sympy import *
init_printing()

Ezután x-t, mint a függvények független változóját, megadjuk szimbólumként.

In [26]:
x = symbols("x")

Majd definiáljuk a Taylor() függvényt, ami legyártja a paraméterül kapott f szimbólikus kifejezésnek, mint függvénynek az a pont körül vett n-edrendű Taylor-polinomját, vagyis a $$ T_{a,n}^f \left(x\right) = \sum_{k = 0}^n \frac{f^{\left(k\right)} \left(a\right)}{k!} \left( x - a \right)^{k}$$ összeget:

In [28]:
def Taylor(f, a, n):
    '''Visszaadja egy f függvény n-edfokú polinomját a körül.'''
    pol = 0                      # A pol változóban tároljuk a polinom értékét
    for k in range(0, n + 1):    # A polhoz minden k esetében hozzáadjuk a fenti kifejezést
        pol += diff(f, x, k).subs(x, a) * (x - a)**k / factorial(k)
    return pol                   # a végén pedig visszaadjuk visszatérési értékként

Ezután kiszámítjuk a kért függvények Taylor-plinomját:

In [31]:
f = sin(x**2) + cos(x)
Taylor(f, pi/3, 3)
Out[31]:
$$\frac{1}{6} \left(x - \frac{\pi}{3}\right)^{3} \left(- 4 \pi \sin{\left (\frac{\pi^{2}}{9} \right )} - \frac{8 \pi^{3}}{27} \cos{\left (\frac{\pi^{2}}{9} \right )} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{1}{2} \left(x - \frac{\pi}{3}\right)^{2} \left(- \frac{4 \pi^{2}}{9} \sin{\left (\frac{\pi^{2}}{9} \right )} - \frac{1}{2} + 2 \cos{\left (\frac{\pi^{2}}{9} \right )}\right) + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 \pi}{3} \cos{\left (\frac{\pi^{2}}{9} \right )}\right) \left(x - \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2} + \sin{\left (\frac{\pi^{2}}{9} \right )}$$
In [32]:
g = exp(- (x - 3)**3) * sin(x)
Taylor(g, 0, 4)
Out[32]:
$$- 3520 x^{4} e^{27} + \frac{1120 x^{3}}{3} e^{27} - 27 x^{2} e^{27} + x e^{27}$$