☠ 07 - Bomlási sorok

Egy egyszerű radioaktív bomlás differenciálegyenlete a következőképpen néz ki:

$$-\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=\lambda N,$$

ahol $N$ az adott elem atommagjainak a száma, $\lambda$ pedig a bomlási állandó, ami egy atommag átlagos várható élettartamának a reciproka. (Felezési idővel is kifejezhetjük, ekkor $\lambda=\ln 2 / T_{1/2}$.) A differenciálegyenlet tulajdonképpen annak a megfogalmazása, hogy a bomlások a magok előéletétől és egymástól függetlenül, ugyanakkora valószínűséggel következnek be.

Vizsgáljunk egy egyszerű bomlási sort, melyben egy anyaelem ($1$), illetve az ő két további leányeleme ($2,3$) található! Hogyan változik ezek darabszáma az idő függvényében? Ábrázoljuk, értelmezzük néhány mondatban a kapott eredményt!

Egyrészt az anyaelem száma folyamatosan csökken, másrészt a leányelemelet "táplálja" az anyaelem bomlása, mikörózben ők is tovább bomolnak:

\begin{align} \frac{\mathrm{d}N_1}{\mathrm{d}t}&=-\lambda_1 N_1\\ \frac{\mathrm{d}N_2}{\mathrm{d}t}&=\lambda_1 N_1-\lambda_2 N_2\\ \frac{\mathrm{d}N_3}{\mathrm{d}t}&=\lambda_2 N_2 - \lambda_3 N_3\\ \end{align}

Legyen a három bomlási állandó és a kezdeti feltételek: \begin{align} \lambda_1&=0.5~\frac{1}{\mathrm{s}} & N_1(0)&=10^5\ \lambda_2&=0.3~\frac{1}{\mathrm{s}} & N_2(0)&=10^4\ \lambda_3&=2~\frac{1}{\mathrm{s}} & N_3(0)&=10^4\ \end{align}

Megoldás

Először betöltjük a szükséges csomagokat

In [1]:
%pylab inline
from ipywidgets import *
from scipy.integrate import *

Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib

Ezután definiálunk egy függvényt, amely a radioaktív minta viselkedését vizsgálja. Ez a függvény a paraméterként megkapja az anyagok bomlási állandóit, és kezdeti mennyiségeit, majd a differenciálegyenletekből kiszámítja, hogy az idő múlásával hogyan fognak viselkedni, végül pedig ábrázolja őket.

In [46]:
def minta(l_0 = 0.5, l_1 = 0.3, l_2 = 2.0, N_0_0 = 1e5, N_1_0 = 1e4, N_2_0 = 1e4):
    # Kezdeti feltételek kezelése
    l = [l_0, l_1, l_2]
    N_0 = [N_0_0, N_1_0, N_2_0]
    
    # A bomlásra vonatkozó differenciálegyenletek megoldása
    def bomlas(N, t):
        return [-l[0] * N[0], l[0] * N[0] - l[1] * N[1], l[1] * N[1] - l[2] * N[2]]
    t = linspace(0, 25, 100000)
    N = odeint(bomlas, N_0, t)

    # Ábrázolás
    plot(t, N[:, 0], label="1. anyag")
    plot(t, N[:, 1], label="2. anyag")
    plot(t, N[:, 2], label="3. anyag")
    legend()
    xlabel("idö (s)", size=12)
    ylabel("részecskeszám (db)", size=12)
    title("A részecskék száma az idö függvényében", size=18, y=1.05)

Ezeket követően, az interact() függvény segítségével futtathatjuk a programot tetszőleges paraméterek mellett, így bármilyen radioaktív rendszer viselkedését vizsgálhatjuk. Az alapértelmezett változók a feladatban kért paraméterek szerint vannak kiválasztva.

In [47]:
interact(minta, 
                l_0 = FloatSlider(min=0.0, max = 10.0, step = 0.1, value = 0.5, description=r"$\lambda_1$"),
                l_1 = FloatSlider(min=0.0, max = 10.0, step = 0.1, value = 0.2, description=r"$\lambda_2$"),
                l_2 = FloatSlider(min=0.0, max = 10.0, step = 0.1, value = 2.0, description=r"$\lambda_3$"),
                N_0_0 = FloatSlider(min=0.0, max = 10e5, step = 0.1e5, value = 1e5, description=r"$N_{10}$"),
                N_1_0 = FloatSlider(min=0.0, max = 10e5, step = 0.1e5, value = 1e4, description=r"$N_{20}$"),
                N_2_0 = FloatSlider(min=0.0, max = 10e5, step = 0.1e5, value = 1e4, description=r"$N_{30}$"),)

Az első enyag bomlására vonatkozó differenciálegyenlet könnyen megoldható, egyszerűen exponenciálisan csökken, ez egyértelműen látható a grafikonon is. A másik két anyag bomlása már bonyolultabb, mert azok keletkeznek a többi anyagból.

A második anyag bomlási állandója valamivel kisebb az elsőénél, de egy nagyságrenbe tartozik vele. Ez azt jelenti, hogy az első anyag bomlásával, a második anyag mennyisége nő, és mivel a második anyag lassabban bomlik, mint az első, az első anyag bomlása táplálja a második anyagot, ezért ennek mennyisége kezdetben nő. Miután viszont az első anyag anyagmennyisége lecsökken, a második anyag születése is megszűnik, így forrás nélkül az is el kezd exponenciálisan csökkenni. Az első anyag felezési idejének 5-szöröse $6.93\ s$, ezután gyakorlatilag elfogyottnak tekinthető, és látható, hogy a második anyag ezután valóban exponenciális görbe szerint csökken.

A második és a harmadik anyag kapcsolatára viszont ez már nem igaz, mert a harmadik anyag bomlási állandója sokkal nagyobb a másodikénál. Ez azt jelenti, hogy a kezdetben jelen lévő harmadik anyag elég gyorsan elbomlik (a karakterisztiku idej $1,73\ s$, így ezután csak a második anyag bomlásából származó mennyiség található meg benne. Mivel a harmadik anyag bomlása sokkal gyorsabb, szekuláris radioaktív egyensúly alakul ki, ezért egy atom, ami a második anyagból elbomlik, szinte azonnal továbbbomlik, így a két anyag aktivitása egyenlő lesz, anyagmennyiségük aránya pedig állandó (látható is, hogy a harmadik anyag görbéjének alakja elég jól követi a másodikét).